РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К КЛАССИФИКАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В современных условиях в распоряжении учителя математики имеются не только разнообразные по содержанию геометрические задачи, но и эффективные методы их решения. С включением в школьную программу геометрических преобра­зований, векторов и понятия о координатном методе изменились способы решения геометрических задач. Ранее основным средством решения задач являлись признаки равенства и признаки по­добия треугольников. Например, для доказательства равенства отрезков АВ и CD отыскивали (или строили) два треуголь­ника, сторонами которых являлись соответственно отрезки АВ и CD. Используя признаки равенства треугольников, доказы­вали равенство рассматриваемых треугольников, из чего следовало и равенство их элементов, в частности отрезков АВ и CD. Для доказательства равенства фи­гур можно использовать свойства геометрических преобразований. Напри­мер, для доказательства равенства отрезков АВ и CD на­ходят перемещение, при котором [АВ] → [CD]. Для доказатель­ства параллельности прямых (или отрезков) ранее использовались признаки параллельности прямых. Теперь же для этого достаточно показать, что векторы, задающие эти прямые, коллинеарные. А для нахождения расстояния |АВ| удобно вычислить скалярное произ­ведение, так как |AB|=.

Критерии коллинеарности и компланарности векторов служат основной для применения векторной алгебры в решении стереометрических задач. Они позволяют выразить в виде векторных равенств различные утверждения о расположенных точках, прямых и плоскостей в пространстве. Переход от векторных равенств к скалярным происходит на основе единственности разложения вектора по двум неколлинеарным и трём некомпланарным векторам.

Рассмотрим конкретные примеры решения задач различными методами.

Задача 1. Через центр О параллелограмма ABCD про­ведена прямая l, пересекающая стороны ВС и AD параллелограм­ма соответственно в точках М и N. Докажите, что |ВМ| = |DN|.

Решение (традиционное). Отрезки ВМ и ND являются сто­ронами треугольников ВМО и OND. Треугольники ВМО и OND равны, так как |ВО| = |ОD| (по свойству диагоналей параллелограмма), ÐМВО = ÐNDO   (накрест  лежащие  углы  при  параллельных  прямых), ÐBOM = ÐNOD (вертикальные углы). Следовательно, |ВМ|=|DN|.

Решение (метод геометрических преобразо­ваний). Точка О — центр симметрии параллелограмма ABCD. Тогда применяя центральную симметрию, получим Z0 ) = D, Z0 ) = N, так как N = (МО (DA). Следовательно, |ВМ| = |DN|.

Из приведенной задачи видно, что решение, основанное на свойствах геометрических преобразований, значительно проще.

Отметим, что преимущество новых методов перед классическими проявляется в том, что они позволяют решать не только традиционные задачи, но ставить и решать задачи нового типа, специально предназначенные для применения этих методов. Однако не следует упускать из виду давно сложившиеся классические приемы и методы решения геометрических задач, основанные на применении построений, использовании элементарного алгебраического аппарата, тригонометрических соотношений.

Спектр геометрических задач изучаемых в школе необычайно широк. Такое положение создает благоприятные условия для отбора разнообразных задач по их содержанию и методам решения, обеспечивает на основе их решения развитие творческой инициативы и самостоятельности учащихся.

Поскольку отдельные задачи могут допускать решения различными приемами и методами, то мы считаем, что в учебной практике целесообразно сопоставлять эти приемы и методы. Владение учащимся всем арсеналом средств современного школьного курса геометрии дает ему ключ к пониманию предпочтительности применения того или иного метода.

В обучении математике необходимо приветствовать обсуждение эффективности решения задачи, которую следует анализировать не только с точки зрения нахождения краткого, изящного или простого решения, но и с позиций ограниченности необходимых знаний.

В литературе нет полного согласия в классификации методов решения геометрических задач. В данной статье мы будем использовать идеи и классификации методов решения задач предложенные З.А. Скопецем, В.А. Гусевым, В.Н. Литвиненко, Т.Т. Фискович.

Если за основу классификации алгебраических и геометрических методов, как отмечает Л. Капкаева [7], принять систему знаний, на которых основан метод, то получим алгебраический и геометрические методы решения задач.

Алгебраические методы включают в себя метод тождественных преобразований, метод уравнений и неравенств, функциональный метод, векторный метод, координатный метод [7].

Геометрические методы, если ограничиваться планиметрией, можно разделить на методы длин, треугольников, четырехугольников, параллельных прямых, метод соотношений между сторонами и углами треугольника, метод площадей, метод подобия треугольников, тригонометрический метод (метод, основанный на соотношениях между сторонами и углами треугольника, выраженными через тригонометрические функции), метод геометрических преобразований, графический метод (хотя данный метод изучается в курсе алгебры, но он основан на использовании геометрических представлений функций и связанных с ними законов геометрии) [7].

Основными методами решения геометрических задач (не являющихся задачами на построение) В.А. Гусев и В.Н. Литвиненко считают следующие три метода: геометрический, алгебраический и комбинированный [4].

Геометрический метод чаще всего используется при решении задач на доказательство. Требуемое утверждение при этом выводится из ряда известных теорем с помощью логических рассуждений. Геометрический метод в этом случае называют также методом цепочки теорем.

Таким образом, при решении задачи геометрическим методом часто используются методы и результаты решения предшествующих задач. Поэтому полезно выявление связей рассматриваемой задачи с ранее изученными теоремами и решенными задачами. Но не только поэтому. Сравнивая задачу с решенными ранее сходными задачами, ученики выявляют их общие и различные черты, лучше усваивают идею решения данной задачи, глубже познают метод решения класса сходных задач и таким образом готовятся к решению следующих задач.

К геометрическим методам также относят метод дополнительных построений, вспомогательной фигуры, синтетический метод и метод площадей и объемов. Геометрические методы используют аппарат самой геометрии, связаны с геометрическими объектами, их изменениями, но не выходят за рамки этих объектов.

Синтетический метод решения геометрических задач основан на непосредственном рассмотрении данных в задаче фигур и сопоставлении их с искомыми фигурами или отношениями между ними. При этом методе каждая задача требует своего подхода. В основе синтетического метода, как и в целом геометрического метода, лежит аксиоматический метод.

Метод площадей и объемов, базирующийся на интуитивно понятных рассуждениях, вводится при изучении фундаментальных тем «Площади фигур» и «Объемы тел». Полноценное выражение каждой темы неотделимо от двоякой роли понятий площади и объема в геометрии. Они, во-первых, являются источниками геометрической теории измерения величин, а во-вторых, служат действенным инструментом для решения задач.

Применение площадей и объемов в качестве инструмента для решения задач в современной методической литературе раскрывается недостаточно. Э.Г. Готман, И.А. Кушнир, И.Д. Новиков, В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин показывают в своих работах возможность использования метода площадей и объемов для решения некоторых видов задач. Метод площадей и объемов в единстве применения для планиметрических и стереометрических задач не рассматривался, он не описан, не сформирована система обучения этому методу.

Метод геометрических преобразований состоит в том, что кроме данных в условии задачи фигур, рассматриваются вспомогательные фигуры, полученные из данных фигур или их элементов при помощи какого-либо частного вида преобразования (осевой симметрии, параллельного переноса, гомотетии и др.). Использование этого метода необходимо при решении достаточно сложных задач, в условии которых не фигурируют геометрические преобразования.

В зависимости от использованного частного преобразования метод геометрических преобразований может распределяться на метод осевой симметрии, метод параллельного переноса, метод поворота, метод центральной симметрии, метод подобия, метод аффинных преобразований и т.д.

К геометрическим методам относятся дополнительные построения. Всякое геометрическое решение геометрической задачи начинается с работы над чертежом. При этом иногда на чертеже, на котором изображено только условие трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, а если фигуру достроить, эти связи становятся очевидными.

Среди дополнительных построений выделяют следующие: проведение прямой через две точки; продолжение отрезка или отрезков на определенное расстояние или до пересечения с другой прямой; проведение через заданную точку прямой, параллельной или перпендикулярной данной. Для стереометрических задач эти разновидности дополняются проведением плоскости через три точки, проведением через заданную прямую плоскости параллельной или перпендикулярной заданной.

Стандартными планиметрическими примерами таких построений являются: удвоение медианы треугольника с последующим достраиванием треугольника до параллелограмма; проведение через одну из вершин треугольника прямой, параллельной его противоположной стороне; продолжение до пересечения боковых сторон трапеции; проведение через одну из вершин трапеции прямой, параллельной диагонали и другие. Как характерное только для стереометрии отметим достраивание тетраэдра до параллелепипеда. Решение планиметрической задачи начинается с построения чертежа, аккуратное выполнение которого помогает найти связи между элементами фигуры и наметить дальнейшие действия. Для решения стереометрической задачи требования к качеству чертежа значительно возрастают, это связано, прежде всего, с объективными трудностями изображения трехмерной комбинации геометрических тел. Дополнительные линии чаще всего проводятся для того, чтобы свести задачу к ранее решенной (опорной) или просто более простой задаче. Они позволяют включить в задачу новые фигуры с их свойствами, тем самым увеличить число теорем, которые можно использовать при решении задачи. Но проведение дополнительных построений необходимо мотивировать, выясняя вместе с учащимися, почему то или иное построение быстрее приводит к решению задачи. «Если хитроумная вспомогательная линия появляется на чертеже внезапно, без всякой мотивировки, и задача неожиданно оказывается решенной, вдумчивый учащийся или читатель испытывают разочарование и чувствуют себя обманутыми. Математика интересна тогда, когда дает пищу нашей изобретательности и способности к рассуждениям» — писал Д.Пойа о таких дополнительных построениях [5. С.74].

Отметим, что для стереометрических задач существуют и специальные методы, с помощью которых стереометрическая задача сводится к планиметрической, среди них выделим проектирование (чаще всего специальное проектирование — ортогональное или др.), метод сечений геометрической конструкции, метод развертки и др.

Алгебраические методы включают в себя координатный, векторный, поэтапно-вычислительный методы и метод составления уравнений или систем уравнений. Идея алгебраического метода состоит в том, что задачу формулируют так, чтобы в качестве данных и искомых фигур были отрезки. Далее, используя теоремы о свойствах фигур, выражают искомый отрезок через данные в виде формулы и по этой формуле находят этот отрезок [6].

Наиболее распространенным путем получения уравнения является выражение какой-либо величины двумя независимыми способами. Такую величину называют опорным элементом, а алгебраический метод в этом случае называется также методом опорного элемента. Естественно, при составлении уравнения используются различные геометрические факты, формулы и теоремы. Поэтому реально на практике часто мы имеем комбинацию геометрических и алгебраических методов

В качестве опорного элемента могут быть использованы различные элементы и величины. Если, в частности, опорным элементом является площадь фигуры, то говорят, что применяется метод площадей. Если же опорным элементом является треугольник, то говорят, что применяется метод треугольников. Следует отметить, что метод площадей и метод треугольников могут быть и геометрическими методами. Для этого достаточно вспомнить школьное доказательство теоремы Пифагора, основанное на свойстве аддиативности площади.

При составлении уравнения могут быть избраны также векторный, или координатный, или векторно-координатный пути. В этом случае В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко говорят о применении соответственно векторного, или координатного, или векторно-координатного методов. При решении геометрических задач могут применяться геометрические преобразования, заданные аналитически, тогда в рамках алгебраического метода говорят о методе геометрических преобразований.

Т.Т. Фискович предлагает метод координат называть аналитическим методом, при котором исследование геометрических фигур сводится к исследованию связей между координатами точек этих фигур, в применении алгебры к геометрии.

Векторный метод и метод геометрических преобразований Т.Т. Фискович не включает в состав, каких-либо других методов. Эти методы имеет более глубокую идейную основу и широкие приложения в решении геометрических задач.

Если фигура, которая рассматривается в задаче, задана с точностью лишь до подобия, то для составления уравнения или системы уравнений может оказаться целесообразным введение вспомогательного параметра или вспомогательной неизвестной. После введения вспомогательного параметра (или системы параметров) находят выражение опорного элемента несколькими независимыми способами. Комбинируя полученные выражения, получают уравнения или их системы. Данный метод может называться методом вспомогательной переменной.

К алгебраическим методам В.А. Гусев и В.Н. Литвиненко относят также метод прямого счета или поэтапно-вычислительный метод, который состоит в поэтапном нахождении ряда промежуточных величин, с помощью которых находят затем и искомую величину.

Т.Т. Фискович выделяет в отдельные методы метод геометрических мест, метод применения тригонометрии к решению геометрических задач, метод применения начал анализа к решению геометрических задач.

Дадим краткую характеристику данных методов.

Суть метода геометрических мест состоит в сведении задачи к нахождению одной точки (или фигуры), удовлетворяющей каким либо условиям, вытекающим из условия задачи. Для точки достаточно двух условия. Как правило, одному условию удовлетворяет одна линия, другому – другая. Тогда искомая точка является точкой пересечения этих линий.

Сущность метода применения тригонометрии к решению геометрических задач состоит в составлении формулы выражающей зависимость искомых отрезков (или углов) от данных отрезков (или углов), только формула эта содержит кроме отрезков тригонометрические функции углов.

Сущность метод применения начал анализа к решению геометрических задач состоит в следующем, что в формулах связывающих геометрические величины представляют одну из искомых переменных величин как функцию другой переменной величины и, исследуя эту функцию средствами анализа, находят нужные значения.

Отметим, что при решении конкретной задачи нет необходимости применять какой-либо метод в «чистом виде». На разных этапах решения могут применяться различные методы. В подобных случаях говорят, что задача решается комбинированным методом.

Как уже отмечалось ранее, в методической и математической литературе нет должного согласования по терминологии названия и классификации методов решения геометрических задач.

Такие методы, как методом опорного элемента, метод вспомогательного переменного, метод замены и др. еще принято называть эвристиками. Такой подход во многом связан с исследованиями связанными с проблемами творчества и теории деятельности.

Так, метод замены широко применяется в алгебре, но не менее эффективно он может быть применен и в геометрии. Сущность этого метода решения геометрических задач состоит в следующем: фигура, о которой идет речь в условии задачи, так заменяется фигурой с той же искомой величиной, чтобы найти эту величину было легче.

Эвристические методы решения задач рассматривались математиками А. Пуанкаре и Ж. Адамаром, психологами Ю.Н. Кулюткиным и Л.М. Фридманом, методистами Д. Пойа и Ю.М. Колягиным и др. 

Эвристический метод-прием решения задачи, как отмечает Л.В. Виноградова, не является приемом в полном смысле слова[1]. Это основная идея решения задачи. Знание, которой не дает еще гарантии того, что задача будет решена. Эвристики лишь помогают делать поиск задачи.

Наиболее часто используемой эвристикой является метод восходящего анализа – решение задачи с конца, от требования – к условию. Достаточно универсальной является эвристика переформулирования, суть которой заключается в том, что условия или требования, а возможно, то и другое одновременно, заменяются на новые, эквивалентные имеющимся, но позволяющие упростить поиск решения.

Метод вспомогательной неизвестной – эвристика, используемая как при решении алгебраических задач, так и при решении геометрических задач.

Интересны идеи классификации методов решения геометрических задач предложенные З.А Скопецем и Э.Г. Готманом [2]. Они объединяют большую группу методов решения геометрических задач в один класс – аналитические методы. Под аналитическими методами понимаются следующие методы: алгебраический метод (применения тождеств, уравнений, неравенств и их систем); применения тригонометрии к решению геометрических задач; применения свойств функций; векторный метод; метод координат; применения пределов; применения дифференциального и интегрального исчислений.

Также следует выделить метод комплексных чисел, позволяющий решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками используя алгебру комплексных чисел.

В школьных учебниках геометрии задачи перемежаются, что на этапе обучения методам решения геометрических задач вызывает некоторые трудности. В работах психологов А.Н. Леонтьева и Я.А. По­номарева указывается на то, что формирование общего принципа решения задач следует начинать с решения тех задач, условия ко­торых оказывают решающее влияние на нахождение метода реше­ния [3]. Согласно этим выводам знакомство учащихся с математическими методами решения геометрических задач целесообразно начинать с рассмотрений тех задач, решения которых очевидны.

Для обучения методам решения геометрических задач при решении конкретной задачи важен этап, который можно назвать развитием темы задачи. Здесь могут быть рассмотрены задачи, в которых часть данных исходной задачи принимается за искомое, а некоторые искомые считаются данными; задачи, полученные заменой одних объектов другими (без изменения искомых) и т.д. Так возникают задачи, обратные данным, суперпозиции задач, серии задач с различными данными, приводящими к одному результату, и т.п.

Приведем примеры развития темы задачи.

Задача 2. Не изменяя основания, преобразуйте данный параллелограмм в равновеликий ему параллелограмм.

Эту задачу можно специализировать, например, так:

а) Дан параллелограмм. Постройте ромб, равновеликий данному параллелограмму и имеющий своей стороной основание этого параллелограмма.

б) Постройте прямоугольник, равновеликий данному параллелограмму и имеющий то же самое основание.

По отношению к некоторым задачам с ярко выраженными особенностями (по содержанию и приемам решения) следует на заключительном этапе рассмотреть поучительные выводы (фиксации) из проделанной работы о том, как в подобных случаях находится и осуществляется решение, а также какие особенности задач подсказывают прием решения.

 Библиографический список

  1. Виноградова Л. В. Методика преподавания математики в средней школе. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2005
  2. Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом. Пособие для учащихся 9 – 10 кл. — М.: Просвещение, 1979.
  3. Леонтьев А. Н. Опыт экспериментального исследования. Доклад на совещании по вопросам психологии. — М., 1954
  4. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко. — М.: Просвещение, 1992
  5. Пойа Д. Как решать задачу. – М., 1961.
  6. Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора. — М.: УНЦ ДО МГУ, 1998.
  7. Капкаева Л. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении задач. // [Электронный ресурс] – Режим доступа http://www.distedu.ru/mirror/_fiz/archive.1september.ru/mat/2003/16/no16_1.htm

Романов Юрий Викторович, Доцент кафедры теории и методики математического образования института математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону

19.05.2015, 3462 просмотра.

В журнале для учителей «Педагогический советник» можно опубликовать статью учителю и получить сертификат публикации учителя. Издание «Педсоветник» проводит различные дистанционные конкурсы для педагогов, воспитателей и методистов.